15) Gráficas y proporcionalidad directa

Cuando se tienen datos experimentales de dos magnitudes y se quiere determinar la relación entre ambas, es conveniente representarlas en una gráfica ya que permite visualizar el efecto que una variable produce en la otra.

 Importancia de las gráficas:

a) Sirven de ayuda visual para mostrar el comportamiento de las variables de un fenómeno.
b) A partir de una gráfica es posible determinar una relación empírica ( ecuación) entre las variables graficadas.
c) Permiten determinar una magnitud a partir de la otra.

Trazado de una gráfica:

La variable independiente (magnitud elegida como causa de fenómeno) se representa en un eje horizontal (eje x), mientras que la variable dependiente (magnitud elegida como efecto) se representa en un eje vertical (eje y).

Ejemplo:  Un auto se mueve con velocidad constante por una carretera en línea recta. Cada una hora se determinó la distancia recorrida por el automóvil  con respecto a un mismo punto fijo obteniéndose la siguiente tabla de valores:







 En este ejemplo la variable independiente es el tiempo, por lo tanto se graficaría en el eje x, mientras que la variable dependiente  es el desplazamiento (depende del tiempo) y se grafica en el eje y.

Corresponde a una gráfica de desplazamiento en función del tiempo:  x = f (t), 
 x es la variable dependiente
                               t es la variable independiente





Elección de las escalas en los ejes:

a) Los puntos experimentales no deben quedar ni muy juntos ni muy lejanos. Los puntos no pueden quedar amontonados.
b) No hay una regla general para elegir la escala a utilizar en cada eje. Pero puede facilitar su elección el fijarse en el máximo valor a graficar,  redondearlo al entero inmediato superior y luego dividirlo entre otro entero y así asignar la escala.  Las escalas elegidas deben ser lo más sencillas posibles, lo más sencillo es que 1 cm represente a un múltiplo de 10, aunque no siempre se puede.
c) La escala horizontal y la vertical pueden ser diferentes.
d) En cada eje debe especificarse la magnitud graficada y su correspondiente unidad.
e) Especificar el título de la gráfica.



Relación de proporcionalidad directa:

Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al multiplicar una variable por un factor, la otra se multiplica por el mismo factor, es decir, al duplicarse o triplicarse una variable, la otra se duplica o triplica también.
Por ejemplo, si un artículo sale 3 $, 2 artículos saldrán 6 $. Por lo tanto, la cantidad de un artículo es directamente proporcional al precio que debo pagar.

Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales la gráfica de y = f(x) es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

La proporcionalidad directa se representa así:
           x : variable independiente
           y:  variable dependiente


La relación matemática entre x e y es : 



m es una constante que se determina con la pendiente de la gráfica de y = f(x).

Pendiente de una gráfica:

Se toman dos puntos de la recta al azar que estén bastante separados y se calcula la pendiente aplicando la siguiente fórmula:



Conclusión:  ( Muy importante )

Para investigar en un práctico si dos magnitudes cumplen una relación de proporcionalidad directa, podemos hacerlo de dos formas:

a) Graficar una magnitud en función de la otra y ver si la gráfica es  una recta que pasa por el origen de coordenadas.

b) Realizar las divisiones de la variable dependiente entre la independiente y ver si se obtiene un valor constante.

 Ejemplo resuelto de aplicación:

Se determinó la posición de un objeto cada 1 segundo y se realizó la siguiente tabla de valores:

Aclaración: La posición es una magnitud física vectorial que me indica dónde está ubicado un cuerpo con respecto a un punto de referencia.

Tiempo (Segundos)	Posición (Metros)
0	0
1.0	10
2.0	20
3.0	30
4.0	40
5.0	50

a) Graficar posición en función del tiempo :  x = f (t)
b) ¿ Qué tipo de relación existe entre las dos variables?
c) Determina la pendiente de dicha gráfica.
d) ¿Cuál es el significado físico de dicha pendiente?


Respuesta:

a)


b) La posición y el tiempo son directamente proporcionales ya que la gráfica es una recta que pasa por el orígen de coordenadas.

c)

Podemos calcular la pendiente usando la siguiente ecuación:

De forma que si tenemos dos puntos y los sustituimos obtenemos el sigiente resultado:
 

Nota: 

-Al restar 50m - 10 m se tuvo en cuenta las cifras decimales, como ambas medidas no tienen cifras decimales, el resultado : 40 m se expresó sin cifras decimales.

-Al restar 5.0s - 1.0s , como ambas medidas tienen 1 cifra decimal, el resultado va con 1 cifra decimal, es decir 4.0 s.

-Al dividir 40 m  entre 4.0 s, como ambas medidas tienen 2 cifras significativas, el resultado de m va con 2 cifras significativas.

d)  La constante de proporcionalidad encontrada vale 10 m/s, es decir  m = 10 m/s.

 

 Por lo tanto, la pendiente de una gráfica de posición en función del tiempo corresponde a la velocidad del objeto ya que m tiene como unidad m/s.